Petit chosier

Il m'arrive de tomber sur Des chiffres et des lettres, on ne se refait pas ; je suis toujours passable en lettres à cause de l'habitude du scrabble, jeu auquel je suis nettement moins passable. Eh oui : le mot le plus long peut faire jusqu'à dix lettres, alors qu'un scrabble fait le plus souvent sept ou huit lettres, d'où une limitation quand on doit chercher un mot avec plus de lettres à organiser. Mais je voulais parler chiffres. ... Troisième... Première... Troisième... Deuxième... 597 ! Non, ça n'est plus comme ça, le plus vieux jeu du PAF s'est modernisé (un peu).

Pour le compte est bon, plusieurs petites techniques sont bien utiles : connaître des carrés ou des cubes parfaits, savoir multiplier rapidement par 11 (11 × 57 : il y a au moins 5 centaines, 7 unités, donc 507 ; vous ajoutez 5 + 7 = 12 dizaines et obtenez 11 × 57 = 627), entre autres exemples. Un des moyens basiques pour parvenir au bon compte est de rechercher les diviseurs simples ou diviseurs proches du compte à trouver. 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 et éventuellement leurs multiples plus grands. Avec un peu d’entraînement c'est un jeu d'enfant. C'est facile justement parce que des critères simples de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 existent. Et la division par 7 ? L'adage veut qu'aucun critère de divisibilité par 7 ne soit simple, ou en tout cas qu'aucun ne soit plus simple que d'effectuer la division. C'est ce qu'on m'a appris à l'école. C'est inexact au moins pour un nombre de trois chiffres. A fortiori si on raisonne de tête. Ce qui est plutôt amusant, c'est qu'on ait pu rechercher autant de critères de divisibilité par 7 différents.

Par exemple, celui-ci, très simple : un nombre est divisible par 7 si la différence entre son nombre de dizaines et le double du chiffre de ses unités l'est. 343 est divisible par 7 parce que 34 − 2 × 3 = 28 l'est. Hop, ça se voit tout de suite. Un autre ? Un nombre est divisible par 7 si la somme de deux fois son nombre de centaines ajouté au total des unités l'est. Pour 343 : 2 × 3 + 43 = 49, divisible par 7. Pour 399 : 2 × 3 + 99 = 105 et 2 × 1 + 5 = 7, divisible par 7 (10 − 2 × 5 = 0 divisible par 7, ou 105 = 70 + 35 divisibles par 7, sont immédiats également).

Celui-ci, un peu plus compliqué mais bien amusant. On découpe le nombre par tranches de deux chiffres en partant des unités. On cherche la distance entre chaque nombre de deux chiffres et le multiple de 7 le plus proche, alternativement par excès et par défaut puis on écrit les restes dans l'ordre inverse de leur obtention. On itère jusqu'à obtenir éventuellement un multiple de 7. Je vous l'accorde, c'est plus spectaculaire avec un grand nombre. Exemple avec 399. Découpe : 3 | 99. Puis 3 = 1 × 7 − 4 (par excès) et 99 = 14 × 7 + 1 (par défaut). Il ressort un 14, 399 est donc divisible par 7.

Avec quelques souvenirs d'arithmétique, on démontre les critères ci-dessus ; il y en a beaucoup d'autres, et en cherchant un peu on trouverait son propre critère.

La morale réside dans le fait qu'on a beau savoir la possible divisibilité par 7 du compte à trouver, pour progresser il faut de toute façon faire la division...